HÀM SỐ
(1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số
I. Kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa
Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K:
+ Hàm số y = f(x) được gọi đồng biến trên khoảng K nếu:


+ Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên khoảng K nếu:


2. Qui tắc xét tính đơn điệu
a. Định lí
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K:
+ Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số đồng biến
+ Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số nghịch biến
b. Qui tắc
B1: Tìm tập xác định của hàm số
B2: Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm xi (i = 1, 2,…,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
B3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
B4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến.
II. Các ví dụ
Loại 1: Xét sự biến thiên của hàm số
Ví dụ 1. Xét sự đồng biến và nghịc biến của hàm số:


Ví dụ 2. Xét sự biến thiên của các hàm số sau:


Loại 2: Chứng minh hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác định.
Phương pháp
+ Dựa vào định lí.
Ví dụ 3.
Chứng minh hàm số
nghịch biến trên đoạn [1; 2]
Ví dụ 4
Chứng minh hàm số
đồng biến trên nửa khoảng [3; +
).
Hàm số
nghịc biến trên mỗi nửa khoảng [-2; 0) và (0;2]
Ví dụ 5. Chứng minh rằng
Hàm số
nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Hàm số
đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Hàm số
nghịch biến trên R.

Dạng 2. Tìm giá trị của tham số để một hàm số cho trước đồng biến, nghịch biến trên khoảng xác định cho trước
Phương pháp:
+ Sử dụng qui tắc xét tính đơn điêu của hàm số.
+ Sử dụng định lí dấu của tam thức bậc hai
Ví dụ 6.
Tìm giá trị của tham số a để hàm số
đồng biến trên R.
Ví dụ 7.
Tìm m để hàm số
đồng biến trên khoảng

Ví dụ 8. Với giá trị nào của m, hàm số:
đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Ví dụ 9
Xác định m để hàm số
đồng biến trên khoảng (0; 3)
Ví dụ 10
Cho hàm số

Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định
Tìm m để hàm số tăng trên

Tìm m để hàm số giảm trên

Ví dụ 11
Cho hàm số
. Tìm m để hàm số:
Liên tục trên R
Tăng trên khoảng

Ví dụ 12 (ĐH KTQD 1997)
Cho hàm số
đồng biến trên

Dạng 3. Sử dụng chiều biến thiên để chứng minh BĐT
Phương pháp
Sử dụng các kiến thức sau:
+ Dấu hiệu để hàm số đơn điệu trên một đoạn.
+ f ( x) đồng biến trên [a; b] thì

+ f(x) nghịch biến trên [a; b] thì

Ví dụ 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:


Ví dụ 2.
Chohàm số f(x) = 2sinx + tanx – 3x
Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng

Chứng minh rằng

Ví dụ 3
Cho hàm số

a.Chứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng

b. Chứng minh

Ví dụ 3
Cho hàm số

Xét chiều biến thiên của hàm số trên

Chứng minh rằng






( CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số
Phương pháp:
Dựa vào 2 qui tắc để tìm cực trị của hàm số y = f(x)
Qui tắc I.
B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.
B3. Lập bảng biến thiên.
B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị
Qui tắc II.
B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu là xi là các nghiệm của nó.
B3: Tính f ”(xi)
B4: Dựa vào dấu của f ” (xi) suy ra cực trị